Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku pada barisan geometri.

Rumus mencari hasil penjumlahannya adalah :

atau

Sn = hasil penjumlahan n suku pertama

 a  = suku pertama
 r   = rasio

Keduanya dapat digunakan untuk berapa pun nilai  r (rasio).

Dari mana datangnya rumus-rumus tersebut? Berikut ini pembuktiannya

Jika yang kita lakukan adalah Sn - rSn, maka terbentuklah rumus yang ke-dua.

• Deret geometri dibedakan menjadi dua berdasarkan nilai rasionya.

Deret Geometri Divergen

Deret geometri yang rasionya berkisar di luar  -1 sampai 1 sehingga suku-suku berikutnya semakin menjauhi 0.
 r < -1 < 1 < r

Contoh :
- 1 + 3 - 9 + ... + Un         ( r = - 3 )
1 + 3 +  9  + ... + Un         ( r = 3 )
4    8    16                                  2

√2 + 1 + √2 + 2 + ... + Un.   ( r = √2 )
 2


Deret Geometri Konvergen
Deret geometri yang rasionya di antara  -1 dan 1 sehingga suku-suku berikutnya semakin mendekati 0.
-1 < r < 1

Contoh :
4 + 2 + 1 + 1 + ... + Un          ( r = 1 )
                   2                                   2

1 -  2 + 4 -  8  + ... + Un.          ( r =    2 )
      3    9    27                                      3

• Deret Geometri Tak Terhingga

Untuk deret geometri tak terhingga divergen
S∞ = ∞

Untuk deret geometri tak terhingga konvergen

• Contoh Soal

1) Sebuah ayunan ditarik kemudian dilepas sehingga berayun dengan ayunan pertama sejauh 4 m. Jika jauh ayunan berikutnya selalu 3/4 dari jauh ayunan sebelumnya, tentukan panjang lintasan ayunan sejak dilepas hingga berhenti!
2) Tentukan hasil penjumlahan 10 suku pertama pada suatu deret geometri Jika suku yang ke-3 adalah -5/2 dan suku yang ke-6 adalah 20 !
3) Sebuah bola dilempar vertikal setinggi 6 m. Jika tinggi pantulan berikutnya selalu 2/3 dari pantulan sebelumnya, tentukan panjang lintasan bola hingga menyentuh tanah yang ke-4 kalinya!

Pembahasan
1) Hingga ayunan berhenti artinya sampai tak terhingga

Jadi, panjang lintasan ayunan sejak dilepas hingga berhenti adalah sejauh 16 m.

2) Suku ke-6 adalah 20 dan suku ke-3 adalah -5/2

Jadi, jumlah 10 suku pertamanya adalah 1075/8.

3) Hingga menyentuh tanah yang ke-4 kalinya berarti kita cari S4
a = 6
r = 2/3

Karena gerakannya dua (naik dan turun) maka dikali dua
130/9 × 2
= 260/9

Jadi, panjang lintasan bola  menyentuh tanah yang ke-4 kalinya adalah 
260/9 m.