Deret Aritmetika

Penjumlahan suku-suku pada barisan aritmetika.

Sn = hasil penjumlahan n suku pertama

Rumus hasil jumlah

Dari mana datangnya rumus-rumus tersebut? Berikut ini pembuktiannya

Contoh soal
1. Tentukan hasil dari  24 + 14 + 4 - 6 - ... - 76  !
2. Tentukan nilai n jika 1 + 8 + 15 + ... + Un = 396  !

Pembahasan
1. a = 24
    b = -10
Pertama, kita cari n dulu (bisa dicari lewat -76 itu suku ke-berapa)
  Un  =  a + (n - 1)b
  -76 =  24 + (n - 1)-10
-100 =  (n - 1)-10
n - 1 =  10
     n  =  11

Setelah dapat n, tinggal gunakan rumus Sn
Sn = n(a + Un)
                2
S11 = 11(24 + (-76))
                      2
        = 11(-52)
                2
        = -286

Jadi, 24 + 14 + 4 - 6 - ... - 76 = -286.

2. a = 1
    b = 7
  Sn = 396

Sn = n(2a + (n - 1)b)
                     2
792 = n(2 + (n - 1)7)
792 = n(2 + 7n - 7)
792 = n(7n - 5)
792 = 7n² - 5n
7n² - 5n - 792 = 0
7n² - 77n + 72n - 792 = 0
7n(n - 11) + 72(n - 11) = 0
(7n + 72)(n - 11) = 0

Jika 7n + 72 = 0
                 7n = -72
n menyatakan urutan atau jumlah suku sehingga tidak mungkin negatif atau pecahan

Berarti yang memenuhi adalah
n - 11 = 0
        n = 11

Barisan Aritmetika

Bilangan-bilangan yang terurut dengan selisih tertentu. Suatu bilangan pada barisan aritmetika didapatkan dengan menjumlahkan bilangan sebelumnya dengan selisih barisan tersebut.

Bentuk barisan aritmetika

Rumus utama barisan aritmetika

Un = suku ke-n
  a  = suku pertama  (U1)
  b  = selisih antar suku (Un - Un-1)

Contoh barisan aritmetika
●   1, 4, 7, 10, 13, ...
pada barisan ini,  a = 1 dan b = 3
●   5, 3, 1, -1, -3, ..
pada barisan ini,  a = 5 dan b = -2
●   0,4 ; 1 ; 1,6 ; 2,2 ; 2,8 ; ...
pada barisan ini,  a = 0,4 dan b = 0,6

Contoh bukan barisan aritmetika
●   2, 4, 5, 8, 11, ...
bukan barisan aritmetika karena selisih antar sukunya tidak konstan.
●   2, 4, 8, 16, 32, ...
bukan barisan aritmetika karena selisih antar sukunya tidak konstan.
(pada barisan ini, yang konstan adalah perbandingan antar sukunya yaitu  r = 2,   ini merupakan barisan geometri)


Contoh soal
1. Tentukan suku ke-25 pada barisan 2, 5, 8, 11, ... !
2. Pada suatu barisan aritmetika, suku yang ke-3 adalah 4 dan suku yang ke-5 adalah -2. Tentukan suku pertama pada  tersebut!
3. Tiga buah bilangan membentuk suatu barisan aritmetika. Jika bilangan pertama ditambah bilangan terakhir sama dengan 30, Tentukan bilangan yang berada di tengah!

Pembahasan
1. a = 2
    b = 3

Un = a + (n - 1)b
U25 = 2 + 24×3
        = 2 + 72
        = 74

Jadi, suku yang ke-25 adalah 74.

2. suku ke-3 = 4                 suku ke-5 = -2
           a + 2b = 4                       a + 4b = -2

Eliminasi
a + 2b = 4
a + 4b = -2
-----------------   -
     -2b = 6
        b = -3

Substitusi
a + 2b = 4
a + (-6)= 4
    a - 6 = 4
         a = 10

Jadi, suku pertamanya adalah 10.

3. bilangan pertama   = a
    bilangan di tengah  = a + b
    bilangan terakhir     = a + 2b

a + (a + 2b) = 30
       2a + 2b = 30
       2(a + b) = 30
            a + b = 15

Jadi, bilangan yang berada di tengah adalah 15.

Pembuktian Rumus Deret Geometri Tak Hingga

Seperti yang sudah dibahas pada Deret Geometri, deret geometri tak terhingga konvergen memiliki sebuah rumus untuk menentukan hasil penjumlahan semua suku hingga mendekati nol.

Dari mana datangnya rumus tersebut? Berikut ini pembuktiannya

Kita anggap garis-garis vertikal pada segitiga merah adalah suku-suku deret geometri konvergen (dari kiri ke kanan), garis horizontal juga membentuk deret yang sama.

garis vertikal terpanjang adalah suku pertama =  a
garis vertikal ke dua adalah suku ke dua           =  ar
garis vertikal ke tiga adalah suku ke tiga           =  ar²
                                            :
                                            :
begitu seterusnya dan begitu pula dengan garis yang horizontal.

Dengan memerhatikan deret yang terbentuk dari garis-garis horizontal,
kita dapatkan
alas segitiga merah = a + ar + ar² + ...

karena garis vertikal terpanjang = a dan garis vertikal ke dua = ar,
maka tinggi segitiga hijau = a - ar
dan alasnya sama panjang dengan garis merah horizontal pertama = a

Kedua segitiga tersebut (merah dan hijau) sebangun, sehingga
 alas merah        =        alas hijau          
tinggi merah               tinggi hijau

a + ar + ar² + ...    =       a        
            a                       a - ar

jika kedua ruas dikali a, maka jadilah

a + ar + ar² + ...   =      a    
                                    1 - r

                    S∞   =      a                      (terbukti)
                                   1 - r

Perkalian Suku Barisan Geometri

Pn = hasil perkalian n suku pertama

Untuk nilai n yang kecil kita bisa mencari Pn dengan perkalian manual, tetapi jika untuk nilai n yang besar, kita harus mencari rumus singkatnya terlebih dahulu

Dengan cara di atas kita dapatkan rumus

Contoh soal
Tentukan hasil kali 3 × 6 × 12 × 24 × 48 × 98  !

Pembahasan
a = 3
r = 6/3 = 2

Jadi, 3 × 6 × 12 × 24 × 48 × 98 = 288³.

Barisan Geometri Bertingkat

Barisan geometri yang rasionya membentuk barisan geometri juga
(rasionya tidak konstan tapi teratur).

• Barisan Geometri Tingkat Dua

Rasio baru konstan setelah terbentuk tiga barisan.
Bentuk barisan geometri tingkat dua

Bentuk rumus mencari suku ke-n

berarti

sehingga

dan

Jadi, rumus barisan geometri tingkat dua ialah

dengan a, b, dan c didapat dari

• Barisan Geometri Tingkat Tiga

Rasio baru konstan setelah terbentuk empat barisan.

Bentuk barisan geometri tingkat tiga

Bentuk rumus mencari suku ke-n

Dengan cara yang sama seperti pada barisan geometri tingkat dua
a, b, c, dan d didapat dari

Begitu pula untuk mencari rumus suku ke-n pada barisan geometri bertingkat yang lebih tinggi.

• Contoh soal

Tentukan suku ke-7 pada barisan  1/3 , 1 , 12 , 576 , ... !

Pembahasan

Karena rasio sudah konstan ketika terbentuk 3 barisan, berarti barisan ini merupakan barisan geometri tingkat dua

a² = 4
a   = 2 atau -2

a³b = 3
8b = 3   atau   -8b = 3
b = 3/8  atau  -3/8

abc = 1/3
2(3/8)c = 1/3  atau  -2(-3/8)c = 1/3
jadinya sama-sama
(3/4)c = 1/3
c = 4/9

berarti rumusnya

yang ditanya adalah suku ke-7

Jadi, suku yang ke-7 adalah  2^30 × 3^5
(Rumus dengan a = -2 dan b = -3/8 juga menghasilkan hasil yang sama)

Barisan Geometri

Barisan geometri adalah bilangan-bilangan yang terurut dengan perbandingan tertentu. 
Suatu bilangan (suku) pada barisan geometri didapatkan dengan mengalikan bilangan sebelumnya dengan perbandingannya.

Bentuk barisannya

Rumus pada barisan geometri

Un = suku ke-n

a = suku pertama

r = perbandingan (rasio)

(perbandingan antara bilangan yang bersebelahan)

Contoh :
1, 3, 9, 27, ... (r = 3)
√2 , 1, √2, 2, ... (r = √2)
 2
1 ,   1 , 1, -2, ... (r = -2)
4     2


Contoh soal :
1) Tentukan suku ke-10 pada barisan -3, 6, -12, 24, ...  !
2) Pada suatu barisan geometri, suku yang ke-3 adalah 6 sedangkan suku yang ke-5 adalah 0,375. Tentukan suku pertamanya!
3) Tiga bilangan membentuk suatu barisan geometri. Jika bilangan pertama dikali bilangan terakhir sama dengan 36, tentukan bilangan yang berada di tengah!

Pembahasan :
1) -3, 6, -12, 24, ...
a = -3
r =  6  = -2
      -3

suku ke-10
= a × r^(10 - 1)
= -3 × (-2)^9
= -3 × -512
= 1.536

suku ke-10 pada barisan tersebut adalah 1.536

2) suku ke-3 adalah 6 dan suku ke-5 adalah 3/8
a × r^2 = 6
a × r^4 = 3/8

a × r^4 = 3/8
a × r^2 =  6

r^2 = 1/16

r = 1/4 atau -1/4

substitusikan r pada salah satu persamaan
a × r^2 = 6
a × (1/4)^2 = 6  atau  a × (-1/4)^2 = 6
a × 1/16 = 6
a = 16 × 6
a = 96

suku pertamanya adalah 96 
(baik r = 1/4 maupun r = -1/4)

3) bil pertama     = a
    bil di tengah    = ar
    bil terakhir      = ar²

a × ar² = 36
     a²r² = 36    (ar)² = 36        ar = √36

Jadi, bilangan yang berada di tengah adalah 6 atau -6.